Question

已知數列{a_n}的首項a₁=1，通項a_n與前n項和S_n之間滿足a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），求a_n的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知得S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1（n≥2），從而

1

Sn-1

-

1

Sn

=-2，進而Sn=

1

2n-1

，由此能求出a_n的通項公式．

解答： 解：∵a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），
∴S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1（n≥2），
兩邊同時除以S_nS_n-1，得：

1

Sn-1

-

1

Sn

=-2，
又a₁=1，∴{

1

Sn

}是首項為1，公差為2的等差數列，
∴

1

Sn

=1+（n-1）×2=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

，
a1=S1=

1

2-1

=1，
a_n=S_n-S_n-1=

1

2n-1

-

1

2(n-1)-1

=-

2

(2n-1)(2n-3)

，
n=1時，上式不成立，
∴a_n=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．