Question

已知奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=1-cosx，x∈（-1，1）．滿足f（1-x²）+f（1-x）＜0，則實數(shù)x的取值范圍是（　�。�

• A、（0，1）
• B、（1，

  2

  ）
• C、（-2，-

  2

  ）
• D、（-

  2

  ，1）∪（1，

  2

  ）

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由f′（x）≥0，判定f（x）是定義域上的增函數(shù)；又f（x）是奇函數(shù)，把f（1-x²）+f（1-x）＜0化為不等式組，求出x的取值范圍．

解答： 解：∵x∈（-1，1）時，f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）是區(qū)間（-1，1）上的增函數(shù)；
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（1-x²）+f（1-x）＜0可化為
f（1-x²）＜-f（1-x），
即f（1-x²）＜f（x-1）；
∴

-1＜1-x2＜1 -1＜x-1＜1 1-x2＜x-1

，
解得1＜x＜

2

；
∴x的取值范圍是（1，

2

）．
故選：B．

點評：本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性以及利用單調(diào)性與奇偶性解不等式的問題，解題時應(yīng)注意不等式的等價轉(zhuǎn)化問題，是綜合題．