Question

設關于x的函數f（x）=mx²-（2m²+4m+1）x+（m+2）lnx，其中m為R上的常數，若函數f（x）在x=1處取得極大值0．
（1）求實數m的值；
（2）若函數f（x）的圖象與直線y=k有兩個交點，求實數k的取值范圍；
（3）設函數g(x)=(p-2)x+

p+2

x

，若對任意的x∈[1，2]，2f（x）≥g（x）+4x-2x²恒成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，利用函數f（x）在x=1處取得極大值0，可得

f′(1)=0 f(1)=0

，從而可求實數m的值；
（2）由（1）知f′(x)=

(-2x-1)(x-1)

x

，可知函數在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，從而當x=1時，函數f（x）取得最大值，進而可知f（x）＜0，從而得當k＜0時，函數f（x）的圖象與直線y=k有兩個交點，
（3）構造函數F(x)=2f(x)-g(x)-4x+2x2=2lnx-px-

p+2

x

，對p討論：p=0與p≠0即可得出結論．

解答：解：（1）f′(x)=2mx-(2m2+4m+1)+

m+2

x

=

(2mx-1)[x-(m+2)]

x

因為函數f（x）在x=1處取得極大值0
所以，

f′(1)=2m-(2m2+4m+1)+m+2=-2m2-m+1=0 f(1)=m-(2m2+4m+1)=-2m2-3m-1=0

解m=-1
（2）由（1）知f′(x)=

(-2x-1)(x-1)

x

，令f'（x）=0得x=1或x=-

1

2

（舍去）
所以函數f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減，
所以，當x=1時，函數f（x）取得最大值，f（1）=ln1-1+1=0
當x≠1時，f（x）＜f（1），即f（x）＜0
所以，當k＜0時，函數f（x）的圖象與直線y=k有兩個交點，
（3）設F(x)=2f(x)-g(x)-4x+2x2=2lnx-px-

p+2

x

F′(x)=

2

x

-p+

p+2

x2

=

-px2+2x+(p+2)

x2

當p=0時，F′(x)=

2x+2

x2

＞0，F（x）在[1，2]遞增，F（1）=-2＜0不成立，（舍）
當p≠0時F′(x)=

-p(x+1)(x- p+2 p )

x2

當1+

2

p

＜-1，即-1＜p＜0時，F（x）在[1，2]遞增，F（1）=-2p-2＜0，不成立
當-1＜1+

2

p

≤1，即p＜-1時，F（x）在[1，2]遞增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，所以，此時p＜-1
當p=-1時，F（x）在[1，2]遞增，成立；
當p＞0時，F（1）=-2p-2＜0不成立，
綜上，p≤-1

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查利用導數求函數的極值，同時考查利用導數求函數的單調性，有一定的難度．