Question

已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且對任意x＞0，都有f′（x）＞

f(x)

x

．
（Ⅰ）判斷函數(shù)F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）設x₁，x₂∈（0，+∞），證明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的結論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結論．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）求出導數(shù)F'（x），根據(jù)條件判斷導數(shù)在（0，+∞）內(nèi)的符號，從而說明函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）運用（Ⅰ）的結論證明，注意應用累加法；
（Ⅲ）先寫出推廣的結論，然后運用（Ⅰ）的結論證明，并注意累加．

解答： 解：（Ⅰ）對F（x）求導數(shù)，得F′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，
∵f′（x）＞

f(x)

x

，x＞0，∴xf′（x）＞f（x），即xf′（x）-f（x）＞0，
∴F′（x）＞0，
故F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）∵x₁＞0，x₂＞0，∴0＜x₁＜x₁+x₂．
由（Ⅰ），知F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴F（x₁）＜F（x₁+x₂），即

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，
∵x₁＞0，∴f（x₁）＜

x1

x1+x2

f（x₁+x₂），
同理可得f（x₂）＜

x2

x1+x2

f（x₁+x₂），
以上兩式相加，得f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅲ）（Ⅱ）中結論的推廣形式為：
設x₁，x₂，…，x_n∈（0，+∞），其中n≥2，則f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+…+x_n）．
∵x₁＞0，x₂＞0，…，x_n＞0，
∴0＜x₁＜x₁+x₂+…+x_n．
由（Ⅰ），知F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴F（x₁）＜F（x₁+x₂+…+x_n），即

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2+…+xn)

x1+x2+…+xn

．
∵x₁＞0，
∴f（x₁）＜

x1

x1+x2+…+xn

f（x₁+x₂+…+x_n）．
同理可得
f（x₂）＜

x2

x1+x2+…+xn

f（x₁+x₂+…+x_n），
f（x₃）＜

x3

x1+x2+…+xn

f（x₁+x₂+…+x_n），
…
f（x_n）＜

xn

x1+x2+…+xn

f（x₁+x₂+…+x_n），
以上n個不等式相加，得f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+…+x_n）．

點評：本題考查導數(shù)的一個應用--求函數(shù)的單調(diào)性，同時重點考查函數(shù)單調(diào)性及應用，考查推理能力，是一道中檔題．