Question

已知向量

a

=(-cosα，1+sinα)，

b

=(2sin2

α

2

，sinα)．
（Ⅰ）若|

a

+

b

|=

3

，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)

c

=(cosα，2)，求(

a

+

c

)•

b

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中向量

a

=(-cosα，1+sinα)，

b

=(2sin2

α

2

，sinα)，我們易求出

a

+

b

，由|

a

+

b

|=

3

，我們結(jié)合倍角公式，我們易求出sin2α的值；
（II）又由

c

=(cosα，2)，代入(

a

+

c

)•

b

我們可以求出(

a

+

c

)•

b

的表達(dá)式，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，我們易得(

a

+

c

)•

b

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

+

b

=（1-2cosa，1+2sina）
∴|

a

+

b

|=

6+4(sina-cosa)

（3分）
∴sina-cosa=-

3

4

∴sin2a=

7

16

（5分）
（Ⅱ）

a

+

c

=（0，sina+3），
∴（

a

+

c

）=

b

=sin²a+3sina=（sina+

3

2

）²-

9

4

（8分）
又sina∈[-1，1]，
∴(

a

+

c

)-

b

的取值范圍為[-2，4]（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，三角函數(shù)的倍角公式，三角函數(shù)的性質(zhì)，其中利用平面向量的模的計(jì)算公式，及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算公式，將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵．