設(shè)函數(shù)數(shù)學(xué)公式，在其圖象上一點P（x，y）處的切線的斜率記為f（x）．
（1）若方程f（x）=0有兩個實根分別為-2和4，求f（x）的表達(dá)式；
（2）若g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a2+b2的最小值．

解：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f（x）=g'（x）=x2+ax-b
由已知-2、4是方程x2+ax-b=0的兩個實數(shù)
由韋達(dá)定理，∴，f（x）=x2-2x-8（7分）
（2）g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)減函數(shù)，
所以在[-1，3]區(qū)間上恒有f（x）=g'（x）=x2+ax-b≤0，即f（x）=x2+ax-b≤0在[-1，3]恒成立
這只需滿足即可，也即
而a2+b2可視為平面區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方，其中點（-2，3）距離原點最近，
所以當(dāng)時，a2+b2有最小值13．（14分）
分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出f（x）=g'（x），再根據(jù)-2、4是方程f（x）=0的兩個實數(shù)，由韋達(dá)定理建立方程組，解之即可；
（2）根據(jù)g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)減函數(shù)，得到函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，3]上恒有f（x）=g'（x）≤0，然后建立關(guān)于a和b的約束條件，而a2+b2可視為平面區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方，其中點（-2，3）距離原點最近，從而求出a2+b2的最小值．
點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及線性規(guī)劃的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•聊城一模）已知函數(shù)f(x)=sin(2ωx-
π
6
)-4sin2ωx+a，(ω＞0)，其圖象的相鄰兩個最高點之間的距離為π，
（1） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2） 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的最小值為-
3
2
，求函數(shù)f（x），（x∈R）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•棗莊一模）已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2-2x，g(x)=logax（a＞0，且a≠1），其中a為常數(shù)，如果h（x）=f（x）+g（x）在其定義域上是增函數(shù)，且h'（x）存在零點（h'（x）為h（x）的導(dǎo)函數(shù)）．
（I）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)A（m，g（m）），B（n，g（n））（m＜n）是函數(shù)y=g（x）的圖象上兩點，g'（x0）=
g(n)-g(m)
n-m
（g'（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)），證明：m＜x0＜n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•眉山一模）設(shè)函數(shù)f（x）對其定義域內(nèi)的任意實數(shù)x1與x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數(shù)f（x）為上凸函數(shù)． 若函數(shù)f（x）為上凸函數(shù)，則對定義域內(nèi)任意x1、x2、x3，…，xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
（當(dāng)x1=x2=x3=…=xn時等號成立），稱此不等式為琴生不等式，現(xiàn)有下列命題：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數(shù)；
②二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函數(shù)的充要條件是a＞0；
③f（x）是上凸函數(shù)，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且
AC
=λ
CB
，則f(
x1+λx2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
；
④設(shè)A，B，C是一個三角形的三個內(nèi)角，則sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2
．
其中，正確命題的序號是
①③④
①③④
（寫出所有你認(rèn)為正確命題的序號）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)g(x)= (a，b∈R)，在其圖象上一點P(x,y)處的切線的斜率記為f(x)．

   （1）若方程f(x)=0有兩個實根分別為一2和4，求f(x)的表達(dá)式；

   （2）若g(x)在區(qū)間[一1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a2+b2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，若存在x0∈D，使得y0=f(x0)=x0，則稱以(x0,y0)為坐標(biāo)的點為函數(shù)圖象上的不動點.

(1)若函數(shù)f(x)=的圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點，求a、b滿足的條件;

(2)在(1)的條件下，若a=8，記函數(shù)f(x)圖象上的兩個不動點分別為A、A′，P為函數(shù)f(x)的圖象上的另一點，且其縱坐標(biāo)yP＞3，求點P到直線AA′距離的最小值及取得最小值時點P的坐標(biāo).

(3)命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數(shù)個”是否正確？若正確，試給予證明，并舉出一例；若不正確，試舉一反例說明.

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