Question

選做題：（甲、乙兩題任選一題作答）
甲、如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為

2

a．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫(xiě)出點(diǎn)A、B、A₁、C₁的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角

乙、如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a(0＜a＜

2

)．
（Ⅰ）求MN的長(zhǎng)；
（Ⅱ）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最小；
（Ⅲ）當(dāng)MN長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大�。�

Answer 1

分析：甲、（I）由題意及圖形建立空間直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)；
    （II）利用向量知識(shí)得到MC₁⊥面ABB₁A₁，在有線面角的定義，在三角形中得到所求的線面角的大小
乙、（I）由題意作MP∥AB交BC于點(diǎn)P，利用條件可以得到MNQP是平行四邊形，進(jìn)而求得求MN的長(zhǎng)；
     （II）由（I），利用二次函數(shù)求出線段MN的長(zhǎng)取最值時(shí)的a的值及此時(shí)M，N的位置；
      （III）取中點(diǎn)，利用等腰三角形得到垂直，利用二面角平面角的定義得到二面角的平面角，然后再三角形中解出角的大小即可．

解答：甲、解：（1）如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，
以AB所在直線為Oy軸，以AA₁所在直線為Oz軸，
以經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與平面ABB₁A₁垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
由已知，得A（0，0，0），B（0，a，0），
A1(0，0，

2

a)，C1(-

3

2

a，

a

2

，

2

a)
（2）坐標(biāo)系如上．取A₁B₁的中點(diǎn)M，
于是有M(0，

a

2

，

2

a)，
連AM，MC₁有

MC1

=(-

3

2

a，0，0)，
且

AB

=(0，a，0)，

AA1

=(0，0，

2

a)
由于

MC1

•

AA1

=0，

MC1

•

AA1

=0
所以，MC₁⊥面ABB₁A₁
∴AC₁與AM所成的角就是AG₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角．
∵

AC1

=(-

3

2

a，

a

2

，

2

a)，

AM

=( 0，

a

2

，

2

a)
∴

AC1

•

AM

=0+

a2

4

+2a2=

9

4

a2
而|

AC1

|=

3a2 4 + a2 4 +2a2

=

3

a
|

AM

|=

a2 4 +2a2

=

3

2

a
∴cos＜

AC1

，

AM

＞=

9 4 a2

3 a• 3 2 a

=

3

2

所以，

AC1

與

AM

所成的角，
即AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角為30°
乙、解：（1）作MP∥AB交BC于點(diǎn)P，
NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，
即MNQP是平行四邊形．
∴MN=PQ由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴

AC=BF= 2 CP 1 = a 2 ， BQ 1 = a 2

即CP=BQ=

a

2

∴MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=

(1- a 2 )2+( a 2 )2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

(0＜a＜

2

)
（2）由（1）MN=

(a- 2 2 )2+ 1 2

所以，當(dāng)a=

2

2

時(shí)，MN=

2

2

即M，N分別移動(dòng)到AC，BF的中點(diǎn)時(shí)，
MN的長(zhǎng)最小，最小值為

2

2

（3）取MN的中點(diǎn)G，連接AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，
∴∠AGB即為二面角α的平面角．
又AG=BG=

6

4

，
所以由余弦定理有cosα=

( 6 4 )2+( 6 4 )2-1

2• 6 4 • 6 4

=-

1

3

．
故所求二面角α=arccos(-

1

3

)．

點(diǎn)評(píng)：甲：此題重點(diǎn)考查了利用條件恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，還考查了利用向量證明線面垂直，還考查了線面角的知識(shí)；
乙：此題重點(diǎn)考查了學(xué)生的空間想象能力及方程的思想，還考查了由線線平行得三角形相似，進(jìn)而線段成比例進(jìn)而在三角形中解出MN的長(zhǎng)，此時(shí)MN的長(zhǎng)是用a表示的．還考查了利用一元二次函數(shù)的值域求出最小值及對(duì)應(yīng)的M，N的位置，此外還考查了二面角的平面角的概念及在三角形中求解出角的大小及利用反三角函數(shù)表示角的大小．