【題目】如圖,梯形ABCD所在的平面與等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直,AB∥CD∥EF,AB⊥AD,CD=DA=AF=FE=2,AB=4.

(1)求證:DF∥平面BCE;

(2)求二面角C—BF—A的正弦值;

(3)線段CE上是否存在點G,使得AG⊥平面BCF?請說明理由.

【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析

【解析】

(1)CDEF, CD=EF,得到四邊形CDFE為平行四邊形,從而DFCE,由線面平行的判定定理得證DF平面BCE;(2)在平面ABEF內(nèi),過AAZAB,以A為原點,AD、AB、AZ所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,寫出相應的坐標,求出平面BCF的一個法向量n和平面ABF的一個法向量v的坐標,利用夾角公式求出二面角C—BF—A的余弦值,進而用同角三角函數(shù)關系求出正弦值;(3)假設存在滿足條件的點G,設λ,求出G點坐標,從而得的坐標,由n構(gòu)造方程組,方程組無解,從而判斷滿足條件的點G不存在.

(1)證明:因為CD∥EF,且CD=EF,所以四邊形CDFE為平行四邊形,所以DF∥CE,因為DF平面BCE,

所以DF∥平面BCE.

(2)在平面ABEF內(nèi),過A作AZ⊥AB,因為平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,又AZ平面ABEF,AZ⊥AB,所以Az⊥平面ABCD,

所以AD⊥AB,ADAZ,AZAB,

如圖建立空間直角坐標系A—xyz.

由題意得,A(0,0,0),B(0,4,0),C(2,2,0),E(0,3,),F(0,1,)

所以(2,-2,0),(0,-3,)

設平面BCF的法向量為n=(x,y,z),則

令y=1,則x=1,z=,所以n(1,1,)

平面ABF的一個法向量為v(1,0,0),

則cos〈n,v〉=sinn,v〉=.

所以二面角C—BF—A的正弦值為.

(3)線段CE上不存在點G,使得AG⊥平面BCF,理由如下:

假設線段CE上存在點G,使得AG⊥平面BCF,設λ,其中λ∈[0,1]

設G(x2,y2,z2),則有(x22,y22,z2)(λ,λ),

所以x22y22λ,z2λ,從而G(2-2λ,2+λ,λ),

所以(2,2λ,λ)

因為AG⊥平面BCF,所以∥n.

所以有,

因為上述方程無解,所以假設不成立.

所以線段CE上不存在點G,使得AG⊥平面BCF.

練習冊系列答案
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【題目】為了解兒子身高與其父親身高的關系,隨機調(diào)查了5對父子的身高,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示.

A

B

C

D

E

父親身高

174

176

176

176

178

兒子身高

175

175

176

177

177

1)從這五對父子任意選取兩對,用編號表示出所有可能取得的結(jié)果,并求隨機事件兩對父子中兒子的身高都不低于父親的身高發(fā)生的概率;

2)由表中數(shù)據(jù),利用最小二乘法關于的回歸直線的方程.

參考公式:;回歸直線:

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④函數(shù)的圖象關于點成中心對稱.

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(1)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤,則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)?

(2)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤條件下,若要求調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤,則的取值范圍是多少?

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1)為了使這種商品的生產(chǎn)費用平均每噸最低,那么這種商品的產(chǎn)量應為多少噸?

2)如果生產(chǎn)出來的商品能全部賣完,當產(chǎn)量是120噸時企業(yè)利潤最大,此時出售價格是每噸160萬元,求的值.

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【題目】已知, 為兩條不同的直線, 為兩個不同的平面,對于下列四個命題:

, ,

, , ,

其中正確命題的個數(shù)有(

A. B. C. D.

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(2)對于區(qū)域中動點,求的取值范圍;

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(1)試用表示;

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