Question

（2011•重慶模擬）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x²=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)且△F₁F₂P的面積最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F₂作與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（m，0）是x軸上不同于原點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求滿足條件(

MA

+

MB

)⊥

AB

的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)（c，0 ），則由點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)且△F₁F₂P的面積最大值為2，求出c值，進(jìn)而可求出a，b值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為 y=k（x+2），代入橢圓的方程化簡(jiǎn)，把根與系數(shù)的關(guān)系代入(

MA

+

MB)

•

AB

=0，解得 m=-

8k2

1+5k2

=-

8

1 k2 +5

，再利用不等式的性質(zhì)求出m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)為（0，1），設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)（c，0 ），則由題意
∵點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)且△F₁F₂P的面積最大值為2．
∴c=2，∴a=

5

，b=1，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

5

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為 y=k（x+2），代入橢圓的方程化簡(jiǎn)可得  （1+5k²）x²+20k²x-5=0，
∴x₁+x₂=

-20k2

1+5k2

，x₁•x₂=

20k2-5

1+5k2

，
∴（

MA

+

MB

）=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂ ）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）．
由(

MA

+

MB

)⊥

AB

，可得 （

MA

+

MB

）•

AB

=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）•（x₂-x₁，y₂-y₁）
=（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，
化簡(jiǎn)可得 x₁+x₂-2m+k²（x₁+x₂+4）=0，∴2m=4k²-

20k2(k2+ 1)

1+5k2

，
∴m=-

8k2

1+5k2

=-

8

1 k2 +5

．∵k²＞0，∴0＜

8

1 k2 +5

＜

8

5

，
∴-

8

5

＜m＜0． 故m的取值范圍是[-

8

5

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，不等式的性質(zhì)，求出m=-

8k2

1+5k2

=-

8

1 k2 +5

，是解題的關(guān)鍵．