Question

已知：

a

=（2cosx，sinx），

b

=（

3

cosx，2cosx）．設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

3

．（x∈R）
求：（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若x∈[-

π

4

，

π

4

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式求出函數(shù)f（x），利用三角函數(shù)的二倍角公式和公式asinα+bcosα=

a2+ b2

sin(x+β)化簡函數(shù)f（x），利用三角函數(shù)的周期公式求出f（x）的周期．
（2）通過整體處理的思想令三角函數(shù)的整體角在正弦的遞增區(qū)間上，解不等式求出三角函數(shù)的遞增區(qū)間．
（3）求出整體角的范圍，利用三角函數(shù)的圖象求出相應(yīng)函數(shù)的值域．

解答：解：f(x)=

a

•

b

- 

3

=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

=sin2x+

3

(2cos2x-1)=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期最小正周期為T=

2π

2

=π
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

得2kπ-

5π

6

≤2x≤2kπ+

π

6

∴kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，??(k∈Z)
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，?(k∈Z)
（3）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，∴sin(2x+

π

3

)∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[-1，2]

點評：本題考查向量的數(shù)量積公式、三角函數(shù)的二倍角公式、三角函數(shù)的周期公式、整體思想求三角函數(shù)的性質(zhì)．