Question

給出下列命題
①△ABC中，sinA=

5

13

，cosB=

3

5

，則cosC=-

16

65

；
②角α終邊上一點(diǎn)P（-3a，4a），且a≠0，那么cosα=-

3

5

；
③若函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）對(duì)于任意的x都有f（

π

6

+x）=-f（

π

6

-x），則f（

π

6

）=0；
④已知f（x）=sin（ωx+2）滿(mǎn)足f（x+2）+f（x）=0，則ω=

π

2

；
其中正確的個(gè)數(shù)有（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①利用三角函數(shù)間的關(guān)系式與誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦可判斷①的正誤；
②利用任意角的三角函數(shù)的定義，可判斷②之正誤；
③依題意知，f（x）=3sin（ωx+φ）關(guān)于（

π

6

，0）成中心對(duì)稱(chēng)，從而可得f（

π

6

）=0，即可判斷③正確；
④利用正弦函數(shù)的周期性可得

2π

|ω|

=4，從而可得ω的值，可判斷④的正誤．

解答： 解：①△ABC中，cosB=

3

5

∈（

1

2

，

2

2

），故B∈（45°，60°），
sinA=

5

13

＜

1

2

，則A＜30°或A＞150°（舍去）；
∴cosA=

1-sin2A

=

12

13

，sinB=

1-cos2B

=

4

5

；
∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=

5

13

×

4

5

-

12

13

×

3

5

=-

16

65

，故①正確；
②角α終邊上一點(diǎn)P（-3a，4a），且a≠0，那么cosα=

-3a

(-3a)2+(4a)2

=-

3a

5|a|

，
當(dāng)a＞0時(shí)，cosα=-

3

5

，當(dāng)a＜0時(shí)，cosα=

3

5

，故②錯(cuò)誤；
③∵函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）對(duì)于任意的x都有f（

π

6

+x）=-f（

π

6

-x），
∴f（x）=3sin（ωx+φ）關(guān)于（

π

6

，0）成中心對(duì)稱(chēng)，
∴f（

π

6

）=0，即③正確；
④∵f（x）=sin（ωx+2）滿(mǎn)足f（x+2）+f（x）=0，
∴f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），即f（x）=sin（ωx+2）的周期為4，
∴

2π

|ω|

=4，解得ω=±

π

2

，故④錯(cuò)誤；
綜上所述，其中正確的個(gè)數(shù)有2個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查三角恒等變換及應(yīng)用，考查三角函數(shù)的定義，正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性，屬于中檔題．