設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2x，a∈R．
（Ⅰ）若x=1為函數(shù)y=f（x）的極值點，求實數(shù)a；
（Ⅱ）求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x∈（-∞，2]，恒有f（x）≤4成立．

解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得f'（x）=（3x-a）（x-a）．
∵x=1為函數(shù)y=f（x）的極值點，∴f'（1）=（3-a）（1-a）=0．
∴a=1或a=3
a=1時，f'（x）=（3x-1）（x-1），函數(shù)在x=1的左右附近先減后增，符合題意；
a=3時，f'（x）=（3x-3）（x-3），函數(shù)在x=1的左右附近先增后減，符合題意；
∴a=1或a=3；
（Ⅱ）對任意的x∈（-∞，2]，恒有f（x）≤4成立，即（x-a）2x≤4對任意的x∈（-∞，2]恒成立
∴|a-x|對任意的x∈（0，2]恒成立
∴≤a≤
令g（x）=，h（x）=，x∈（0，2]
g′（x）=1+＞0，∴g（x）=在（0，2]上單調(diào)遞增，∴g（x）max=g（2）=2-，
h′（x）==，則0＜x＜1時，h（x）單調(diào)遞減，1＜x＜2時，h（x）單調(diào)遞增
∴h（x）min=h（1）=3
∴2-≤a≤3
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用x=1為函數(shù)y=f（x）的極值點，可得f'（1）=（3-a）（1-a）=0，再驗證，即可求得實數(shù)a；
（Ⅱ）對任意的x∈（-∞，2]，恒有f（x）≤4成立，即（x-a）2x≤4對任意的x∈（-∞，2]恒成立，從而|a-x|對任意的x∈（0，2]恒成立，即≤a≤，分別求出左右對應(yīng)函數(shù)的最值，即可求得實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（一）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設(shè)0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數(shù)的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-2x2+4x+t（t為常數(shù)），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實數(shù)m有且只有一個，求實數(shù)m和t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年江蘇省蘇州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設(shè)0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數(shù)的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-2x2+4x+t（t為常數(shù)），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實數(shù)m有且只有一個，求實數(shù)m和t的值．

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