如圖，已知橢圓C：x2+
y2
a2
=1(a＞1)的離心率為e，點F為其下焦點，點O為坐標原點，過F的直線l：y=mx-c（其中c=
a2-1
）與橢圓C相交于P，Q兩點，且滿足：
OP
•
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2
．
（Ⅰ）試用a表示m2；
（Ⅱ）求e的最大值；
（Ⅲ）若e∈(
1
3
，
1
2
)，求m的取值范圍．
（Ⅰ）直線l：y=mx-c代入橢圓方程，消去x，可得（a2+m2）x2-2mcx-1=0
設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=
2mc
a2+m2
，x1x2=
-1
a2+m2
，
∴y1y2=（mx1-c）（mx2-c）=
a2(c2-m2)
a2+m2
，
∵
OP
•
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2
．
∴
-1
a2+m2
+
a2(c2-m2)
a2+m2
=
a2(c2-m2)-1
2-c2
，
∴a2+m2=2-c2=2-（a2-1），
∴m2=3-2a2；
（Ⅱ）∵c=
a2-1
，m2=3-2a2，
∴3（a2-c2）-2a2≥0，
∴a2≥3c2，
∴e2≤
1
3
，
∴e的最大值
3
3
；
（Ⅲ）∵e∈(
1
3
，
1
2
)，
∴e2∈（
1
9
，
1
4
），
∴
1
9
＜
a2-1
a2
＜
1
4
，
∴
9
8
＜a2＜
4
3
，
∵m2=3-2a2，
∴
1
3
＜m2＜
3
4
，
∴m的取值范圍為(-
3
2
，-
3
3
)∪(
3
3
，
3
2
)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=2，點（1，
3
2
）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且△AF2B的面積為
12
2
7
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知F是拋物線y2=4x上的焦點，P是拋物線上的一個動點，若動點M滿足
FP
=2
FM
，則M的軌跡方程是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=12x，點M（-1，0），過M的直線l交拋物線C于A，B兩點．
（Ⅰ）若線段AB中點的橫坐標等于2，求直線l的斜率；
（Ⅱ）設點A關于x軸的對稱點為A′，求證：直線A′B過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，拋物線C上的點M（2，m）到焦點F的距離為3．
（Ⅰ）求拋物線C的方程：
（Ⅱ）過點（2，0）的直線l與拋物線C交于A、B兩點，若|AB|=4
6
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于點A、B和C、D；拋物線上的點T（2，t）（t＞0）到焦點的距離為3．
（1）求p、t的值；
（2）當四邊形ACBD的面積取得最小值時，求直線AB的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x2-y2=1相交于不同的A，B兩點．
（1）求AB的長度；
（2）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點？若存在，求出k的值，若不存在，寫出理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，O為坐標原點；當拋物線上點N的縱坐標為1時，|NF|=2，已知直線l經(jīng)過拋物線C的焦點F，且與拋物線C交于A，B兩點
（1）求拋物線C的方程；
（2）若△AOB的面積為4，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DA⊥AB，AD=3，AB=4，BC=
3
，點E在線段AB的延長線上．若曲線段DE（含兩端點）為某曲線L上的一部分，且曲線L上任一點到A、B兩點的距離之和都相等．
（1）建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼�，求曲線L的方程；
（2）根據(jù)曲線L的方程寫出曲線段DE（含兩端點）的方程；
（3）若點M為曲線段DE（含兩端點）上的任一點，試求|MC|+|MA|的最小值，并求出取得最小值時點M的坐標．

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