Question

已知函數(shù)，n∈N^*．
（1）當(dāng)n≥2時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）是否存在等差數(shù)列{a_n}，使得對一切n∈N^*都成立？并說明理由．

Answer 1

解：（1）=x^n-1（x-1）ⁿ，f'（x）=（n-1）x^n-2（x-1）ⁿ+x^n-1•n（x-1）^n-1=x^n-2（x-1）^n-1[（n-1）（x-1）+nx]，
令f'（x）=0得，
因為n≥2，所以x₁＜x₂＜x₃．…（2分）
當(dāng)n為偶數(shù)時f（x）的增減性如下表：

x	（-∞，0）	0				1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	+	0	-	0	+
f（x）	↗	無極值	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以當(dāng)時，；當(dāng)x=1時，y_極小=0．…（4分）
當(dāng)n為奇數(shù)時f（x）的增減性如下表：

x	（-∞，0）	0				1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗	無極值	↗

所以x=0時，y_極大=0；當(dāng)時，．…（6分）
（2）假設(shè)存在等差數(shù)列{a_n}使成立，
由組合數(shù)的性質(zhì)，
把等式變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/415645.png' />，
兩式相加，因為{a_n}是等差數(shù)列，所以a₁+a_n+1=a₂+a_n=a₃+a_n-1=…=a_n+1+a₁，
故，
所以a₁+a_n+1=n． …（8分）
再分別令n=1，n=2，得a₁+a₂=1且a₁+a₃=2，
進(jìn)一步可得滿足題設(shè)的等差數(shù)列{a_n}的通項公式為．…（10分）
分析：（1）先利用二項式定理化簡f（x），再求出其導(dǎo)函數(shù)f'（x），利用導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在等差數(shù)列{a_n}，結(jié)合組合數(shù)和性質(zhì)得到a₁+a_n+1=n，再分別令n=1，n=2，得a₁+a₂=1且a₁+a₃=2，進(jìn)一步可得滿足題設(shè)的等差數(shù)列{a_n}的通項公式，故存在等差數(shù)列{b_n}，滿足條件．
點(diǎn)評：本題主要考查二項式定理，等差數(shù)列的通項公式，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．