Question

（2012•湖南）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知中心在原點(diǎn)，離心率為

1

2

的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓C：x²+y²-4x+2=0的圓心．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn)，過(guò)P作兩條斜率之積為

1

2

的直線(xiàn)l₁，l₂．當(dāng)直線(xiàn)l₁，l₂都與圓C相切時(shí)，求P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定x²+y²-4x+2=0的圓心C（2，0），設(shè)橢圓E的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其焦距為2c，則c=2，利用離心率為

1

2

，即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，則k₁k₂=

1

2

，由l₁與圓C：x²+y²-4x+2=0相切，可得[(2-x0)2-2]k12+2(2-x0)y0k1+y02-2=0，同理可得[(2-x0)2-2]k22+2(2-x0)y0k2+y02-2=0，從而k₁，k₂是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y02-2=0的兩個(gè)實(shí)根，進(jìn)而k1k2=

y02-2

(2-x0)2-2

=

1

2

，利用

x02

16

+

y02

12

=1，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）由x²+y²-4x+2=0得（x-2）²+y²=2，∴圓心C（2，0）
設(shè)橢圓E的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其焦距為2c，則c=2，
∵e=

c

a

=

1

2

，∴a=4，
∴b²=a²-c²=12
∴橢圓E的方程為：

x2

16

+

y2

12

=1
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，則l₁：y-y₀=k₁（x-x₀）
l₂：y-y₀=k₂（x-x₀），且k₁k₂=

1

2

由l₁與圓C：x²+y²-4x+2=0相切得

|2k1+y0-k1x0|

k12+1

=

2

∴[(2-x0)2-2]k12+2(2-x0)y0k1+y02-2=0
同理可得[(2-x0)2-2]k22+2(2-x0)y0k2+y02-2=0
從而k₁，k₂是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y02-2=0的兩個(gè)實(shí)根
所以

(2-x0)2-2≠0 △＞0

①，且k1k2=

y02-2

(2-x0)2-2

=

1

2

∵

x02

16

+

y02

12

=1，
∴5x02-8x0-36=0，
∴x₀=-2或x0=

18

5

由x₀=-2得y₀=±3；由x0=

18

5

得y0=±

57

5

滿(mǎn)足①
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，3）或（-2，-3），或（

18

5

，

57

5

）或（

18

5

，-

57

5

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與圓相切，解題的關(guān)鍵是確定k₁，k₂是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y02-2=0的兩個(gè)實(shí)根，屬于中檔題．