Question

1．已知n∈N^*時點A_n（n，a_n）都在直線l上，點Bn（n，b_n）都在函數(shù)y=2^x上，a₁=1，a₂=3．
（1）求直線l的方程；
（2）若數(shù)列{C_n}滿足C_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}\\;1≤n≤4}\\{_{n}\\;n≥5}\end{array}\right.$，求數(shù)列{C_n}的前n項和T_n；
（3）若點P₁與A₁重合，且$\overrightarrow{{P}_{n}{P}_{n+1}}$=（a_n，b_n）（n∈N^*），求點P_n的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)直線l的方程為y=kx+b，并代入a₁=1、a₂=3計算出k、b的值，進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知a_n=2n-1，利用b_n=2ⁿ，可得數(shù)列{C_n}的通項公式，進(jìn)而利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論；
（3）通過設(shè)P_n（x_n，y_n）（n∈N^*），利用$\overrightarrow{{P}_{n}{P}_{n+1}}$=（a_n，b_n）（n∈N^*）及累加法計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，
∵a₁=1，a₂=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=k+b}\\{3=2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線l的方程為：y=2x-1；
（2）由（1）可知：a_n=2n-1，
又∵b_n=2ⁿ，
∴C_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，}&{1≤n≤4}\\{{2}^{n}，}&{n≥5}\end{array}\right.$，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}，}&{1≤n≤4}\\{14+{2}^{n-3}，}&{n≥5}\end{array}\right.$；
（3）設(shè)P_n（x_n，y_n）（n∈N^*），
∵$\overrightarrow{{P}_{n}{P}_{n+1}}$=（a_n，b_n）（n∈N^*），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n}-{x}_{n-1}={a}_{n-1}}\\{{y}_{n}-{y}_{n-1}=_{n-1}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n-1}-{x}_{n-2}={a}_{n-2}}\\{{y}_{n-1}-{y}_{n-2}=_{n-2}}\end{array}\right.$，…，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-{x}_{1}={a}_{1}}\\{{y}_{2}-{y}_{1}=_{1}}\end{array}\right.$，
分別并項相加可得：x_n=n²-2n+2，y_n=2ⁿ-1，
又∵點P₁與A₁重合，
∴x_n=n²-2n+2，y_n=2ⁿ-1，
∴P_n（n²-2n+2，2ⁿ-1）（n∈N^*）．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．