Question

觀察下面等式，歸納出一般結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．
結(jié)論：1²+2²+3²+…+n²=________．

Answer 1

分析：觀察所給等式，注意等式的左邊與右邊的特征，得到猜想，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明標(biāo)準(zhǔn)，驗證n=1時成立，假設(shè)n=k是成立，證明n=k+1時等式也成立即可．
解答：由于所給的等式的左邊，是非0自然數(shù)的平方和，右邊是倍的連續(xù)的兩個自然數(shù)n，（n+1）與一個2n+1的積，
所以，猜想：1²+2²+3²+…+n²=------------------（4分）
證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1²=1，右邊=，等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即：1²+2²+3²+…+k²=-----------（6分）
那么，當(dāng) n=k+1時，1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²
=
=
=，
就是說，當(dāng) n=k+1時等式也成立．----------------------（13分）
綜上所述，對任何n∈N₊都成立．----------------------（14分）
故答案為：．
點評：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，歸納推理推出猜想是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)學(xué)歸納法證明時，必須用上假設(shè)．