已知曲線過上的點(diǎn)作曲線的切線交 軸于點(diǎn)，再過作軸的平行線交曲線C于點(diǎn)，再過作曲線C的切線交軸于點(diǎn)，再過作軸的平行線交曲線C于點(diǎn)，…，依次作下去，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

   （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；  

   （Ⅱ）記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.

解：（I）∵.    ∴曲線在點(diǎn)處的切線ln的斜率為.

∴切線ln的方程為.                                          

令得   ，

∴.

依題意點(diǎn)在直線上，

∴  又.   

∴數(shù)列是1為首項，為公比的等比數(shù)列.      

∴.                

（Ⅱ）由已知.

∴.           ①

.        ②

①―②得

.                                               

∴                                                                    

又時，.

又當(dāng)時，.         

∴.

∴當(dāng)時，.

∴           ∴.                                               

綜上.                       

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩點(diǎn)A、B分別在直線y=x和y=-x上運(yùn)動，且|AB|=
4
5
5
，動點(diǎn)P滿足2
OP
=
OA
+
OB
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點(diǎn)作它的切線l，與橢圓
x2
4
+y2=1交于M、N兩點(diǎn)，求證：
OM
•
ON
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年安徽省高三第一次質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分13分）

已知, 是平面上一動點(diǎn), 到直線上的射影為點(diǎn)，且滿足

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作曲線的兩條弦, 設(shè)所在直線的斜率分別為, 當(dāng)變化且滿足時，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年浙江省高三5月模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分15分）已知, 是平面上一動點(diǎn), 到直線上的射影為點(diǎn)，且滿足

(1) 求點(diǎn)的軌跡的方程;

(2) 過點(diǎn)作曲線的兩條弦, 設(shè)所在直線的斜率分別為, 當(dāng)變化且滿足時，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知兩點(diǎn)A、B分別在直線y=x和y=-x上運(yùn)動，且數(shù)學(xué)公式，動點(diǎn)P滿足數(shù)學(xué)公式（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點(diǎn)作它的切線l，與橢圓數(shù)學(xué)公式交于M、N兩點(diǎn)，求證：數(shù)學(xué)公式為定值．

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