Question

（08年臨沂市質(zhì)檢一理） （12分）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，A是橢圓上的一點，AF₂⊥F₁F₂，原點O到直線AF₁的距離為；

   （1）求橢圓的離心率；

   （2）若左焦點F₁（－1，0）設(shè)過點F₁且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于B，C兩點，線段BC的垂直平分線與x軸交于G，求點G橫坐標(biāo)的取值范圍.

 

Answer 1

解析：（1）解法1：由題設(shè)AF₂⊥F₁F₂，及F₁（－c,0），F(xiàn)₂（c,0），不妨設(shè)點A（c,y），其中y>0.

由于點A在橢圓上，有

即.……………………2分

直線AF₁的方程為

由題設(shè)，原點O到直線AF₁的距離為…………4分

將，進而求得……6分

解法2：設(shè)O到直線AF₁的垂足為E，則

Rt△OEF₁―Rt△AF₂F₁，

 （*）……………………2分

由已知條件可求得………………3分

又…………4分

代入（*）式得

將代入并化簡，得進而求得…………6分

（2）∵左焦點F₁（－1，0）

∴橢圓的方程為……………………7分

設(shè)直線BC的方程為代入橢圓方程并整理得

記B

則

…………………………8分

∴BC的垂直平分線NG的方程為

……………………9分

令y=0得

……………………10分

……………………11分

即點G橫坐標(biāo)的取值范圍為……………………12分