證明:(I)∵三棱柱ABC-A
1B
1C
1中B
1C
1∥BC,(1分)
又BC?平面A
1BC,且B
1C
1?平面A
1BC,
∴B
1C
1∥平面A
1BC(3分)
(II)∵三棱柱ABC-A
1B
1C
1中A
1A⊥AB,
∴Rt△A
1AB中
又
∴BC=A
1B,
∴△A
1BC是等腰三角形(6分)
∵E是等腰△A
1BC底邊A
1C的中點,
∴A
1C⊥BE①
又依條件知A
1C⊥ED②
且ED∩BE=E③
由①,②,③得A
1C⊥平面EDB(8分)
解:(III)∵A
1A、ED?平面A
1AC,
且A
1A、ED不平行,
故延長A
1A,ED后必相交,
設(shè)交點為F,連接EF,如圖
∴A
1-BF-E是所求的二面角(10分)
依條件易證明Rt△A
1EF≌Rt△A
1AC∵E為A
1C中點,
∴A為A
1F中點∴AF=A
1A=AB
∴∠A
1BA=∠ABF=45°
∴∠A
1FB=90°
即A
1B⊥FB(12分)
又A
1E⊥平面EFB,
∴EB⊥FB
∴∠A
1BE是所求的二面角的平面角(13分)
∵E為等腰直角三角形A
1BC底邊中點,
∴∠A
1BE=45°
故所求的二面角的大小為45°(14分)
分析:(I)根據(jù)三棱柱的幾何特征,可得B
1C
1∥BC,進而根據(jù)線面平行的判定定理得到B
1C
1∥平面A
1BC;
(II)根據(jù)直三棱柱的幾何特征,又由BC=A
1B,E是等腰△A
1BC底邊A
1C的中點,可得A
1C⊥BE,結(jié)合線面垂直的判定定理可得A
1C⊥平面EDB;
(III)設(shè)交點為E,連接EF,可確定出∠A
1BE是所求的二面角的平面角,解A
1BE可得平面A
1AB與平面EDB所成的二面角的大小.
點評:本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,熟練掌握線面關(guān)系的判定定理及二面角平面角的確定方法是解答本題的關(guān)鍵.