Question

已知函數(shù)f（x）=

-x3+x2+bx+c(x＜1) alnx(x≥1)

，的圖象過點(diǎn)（-1，2），且在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線與直線x-5y+1=0垂直．
（1）求實(shí)數(shù)b，c的值；
（2）若P，Q是曲線y=f（x）上的兩點(diǎn)，且△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，此三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上，則對任意給定的正實(shí)數(shù)a，滿足上述要求的三角形有幾個(gè)？

Answer 1

分析：（1）求出x＜1時(shí)的導(dǎo)函數(shù)，令f（-1）=2，f′（x）=-5，解方程組，求出b，c的值．
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（不妨設(shè)m＞0），則由題意可得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為-m，且-m＜0．由題意可得OP⊥OQ，即K_0P•K_OQ=-1．分0＜m＜1和m≥1兩種情況，分別檢驗(yàn)，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意可得，當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）=-3x²+2x+b，f′（-1）=-3-2+b=b-5．
由（ b-5 ）（

1

5

）=-1，可得b=0，故 f（x）=-x³+x²+c．
把點(diǎn)（-1，2）代入求得 c=0．
綜上可得b=0，c=0．
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（不妨設(shè)m＞0），則由題意可得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為-m，且-m＜0．
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，點(diǎn)P（m，-m³+m²），點(diǎn) Q（-m，m³+m²），
由K_0P•K_OQ=-1，可得（-m²+m）（-m²-m）=-1，m無解．
當(dāng)m≥1時(shí)，點(diǎn)P（m，alnm），點(diǎn) Q（-m，m³+m²），
由K_0P•K_OQ=-1，可得

alnm

m

•（-m²-m）=-1，即alnm=

1

m+1

．
由于a為正實(shí)數(shù)，故存在大于1的實(shí)數(shù)m，滿足方程alnm=

1

m+1

．
故曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，曲線對應(yīng)的函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率；求分段函數(shù)的性質(zhì)時(shí)應(yīng)該分段去求體現(xiàn)了分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．