Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，（a∈R），F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）．
（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使以F（x）圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤1恒成立？
（2）當(dāng)a≤時，討論F（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，以F（x）圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤1恒成立，等價于（x＞0）恒成立，分類討論，可得結(jié)論；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到F（x）的單調(diào)性．
解答：解：（1）F（x）=f（x）-g（x）=
∵以F（x）圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤1恒成立，
∴（x＞0）恒成立，
∴（a+1）x²-x-（a-1）≥0①在x＞0時恒成立．
當(dāng)a≤-1時，①在x＞0時不恒成立
a＜-1時，△=4a²-3，設(shè)u（x）=（a+1）x²-x-（a-1），則或
∴；
（2）
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0）
當(dāng)a=0時，h（x）=1-x，x∈（0，1）時，h′（x）＞0；x∈[1，+∞）時，h′（x）≤0
∴F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是[1，+∞）；
當(dāng)a≠0時，由F′（x）=0可得ax²-x+1-a=0
∴
（i）當(dāng)a=時，x₁=x₂，h（x）≥0，F(xiàn)′（x）≤0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（ii）當(dāng)0＜a＜時，，x∈（0，1），h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；x∈（1，）時，h（x）＜0，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（，+∞）時，h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），（，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間是（1，）；
（iii）當(dāng)a＜0時，＜0，x∈（0，1），h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時，h（x）＜0，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）；單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論是數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．