Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2cosα y=2+2sinα

，（α為參數(shù)），M是C₁上動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足

OP

=2

OM

，P點(diǎn)的軌跡為曲線C₂
（1）求C₂的方程；
（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ=

π

3

與C₁的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C₂的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|；
（3）若直線l：

x=4- 3 t y=-t

（t為參數(shù)）和曲線C₂交于E、F兩點(diǎn)，且EF的中點(diǎn)為G，又點(diǎn)H（4，0），求|HG|．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2cosα y=2+2sinα

，利用cos²α+sin²α=1化為曲線C₁的方程為x²+（y-2）²=4，
設(shè)P（x，y），P點(diǎn)滿足

OP

=2

OM

，可得M(

x

2

，

y

2

)，代人上述方程即可得出曲線C₂方程．
（2）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入曲線C₁、C₂的直角坐標(biāo)方程可得：曲線C₁、C₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4sinθ和ρ=8sinθ．
當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，得ρA=2

3

，ρB=4

3

，即可得出|AB|．
（3）把直線方程代人曲線C₂方程得：t2-2(

3

-1)t+4=0，可得t1+t2=2(

3

-1)，設(shè)EF的中點(diǎn)G對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₀，則t0=

3

-1且|HG|=|-2t₀|．即可得出．

解答： 解：（1）由曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2cosα y=2+2sinα

，化為曲線C₁的方程為x²+（y-2）²=4，
設(shè)P（x，y），∵P點(diǎn)滿足

OP

=2

OM

，∴M(

x

2

，

y

2

)，代人x²+（y-2）²=4，
得x²+（y-4）²=16，即為曲線C₂方程．
（2）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入曲線C₁、C₂的直角坐標(biāo)方程可得：
曲線C₁、C₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4sinθ和ρ=8sinθ．
當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，得ρA=2

3

，ρB=4

3

則|AB|=2

3

．
（3）把直線方程代人曲線C₂方程得：t2-2(

3

-1)t+4=0，
則t1+t2=2(

3

-1)
設(shè)EF的中點(diǎn)G對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₀，則t0=

3

-1且|HG|=|-2t₀|．
∴|HG|=2(

3

-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、向量的運(yùn)算、弦長(zhǎng)計(jì)算、參數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．