Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；
（2）將曲線C上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，再將所得曲線向左平移1個(gè)單位，得到曲線C₁，求曲線C₁上的點(diǎn)到直線l放入距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），兩式相減可得：直線l的普通方程．
（2）將曲線C上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，得（2x-2）²+y²=4，即${（{x-1}）^2}+\frac{y^2}{4}=1$．再將所得曲線向左平移1個(gè)單位，得C₁：${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．設(shè)曲線C₁上任一點(diǎn)P（cosθ，2sinθ），可得d=$\frac{|cosθ-2sinθ+4\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$，化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4x，即 （x-2）²+y²=4．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），兩式相減可得：直線l的普通方程為x-y+4$\sqrt{5}$=0．
（2）將曲線C上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，得（2x-2）²+y²=4，
即${（{x-1}）^2}+\frac{y^2}{4}=1$．
再將所得曲線向左平移1個(gè)單位，得C₁：${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．
又曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），設(shè)曲線C₁上任一點(diǎn)P（cosθ，2sinθ），
則d=$\frac{{|cosθ-2sinθ+4\sqrt{5|}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|4\sqrt{5}-\sqrt{5}sin（θ+ϕ）|}}{{\sqrt{2}}}≥\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$．（其中$tanφ=-\frac{1}{2}$），
∴點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為$\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、坐標(biāo)變換、參數(shù)方程的應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．