Question

在△ABC中，（1）若

CA

=a，

CB

=b，求證：S_△ABC=

1

2

(|a||b|)2-(a•b)2

；
（2）若

CA

=（a₁，a₂），

CB

=（b₁，b₂），求證：△ABC的面積S_△=

1

2

|a₁b₂-a₂b₁|．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面積公式表示出三角形的面積，再利用正余弦的平方關(guān)系及利用向量的數(shù)量積求向量夾角余弦求出三角形面積的另一形式．
（2）將（1）中的向量模及向量的數(shù)量積用坐標(biāo)公式表示即可．

解答：證明：（1）設(shè)a、b的夾角為θ，△ABC的面積S_△=

1

2

|

CA

||

CB

|sinθ=

1

2

|a||b|sinθ．
∵sin²θ=1-cos²θ=1-（

a•b

|a||b|

）²，
∴S_△²=

1

4

（|a||b|）²sin²θ
=

1

4

（|a||b|）²[1-（

a•b

|a||b|

）²]
=

1

4

[（|a||b|）²-（a•b）²]．
∴S_△=

1

2

(|a||b|)2-(a•b)2

．
（2）記

CA

=a，

OB

=b，則a=（a₁，a₂），b=（b₁，b₂）．
∴|a|²=a₁²+a₂²，|b|²=b₁²+b₂²，
|a•b|²=（a₁b₁+a₂b₂）²．
由（1）可知S_△=

1

2

(|a||b|)2-(a•b)2

=

1

2

(a12+a22)(b12+b22)-(a1b1+a2b2)2

=

1

2

(a1b2-a2b1)2

，
∴S_△=

1

2

|a₁b₂-a₂b₁|．

點評：（1）是用數(shù)量積給出的三角形的面積公式；（2）是用向量坐標(biāo)給出的三角形的面積公式．