定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿(mǎn)足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱(chēng)f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱(chēng)為函數(shù)f(x)的上界.
已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
x+(
1
4
x;g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)值域并說(shuō)明函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù)?
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)已知m>-1,函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范圍.
分析:(Ⅰ)將a=1代入f(x)可得f(x)=1+(
1
2
)x+(
1
4
)x
,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出f(x)在(-∞,0)上是單調(diào)遞減函數(shù),即可求得f(x)>f(0),從而得到f(x)的值域,根據(jù)有界函數(shù)函數(shù)的定義,即可判斷出f(x)不是有界函數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)有界函數(shù)的定義,可得|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立,利用參變量分離轉(zhuǎn)化為-4•2x-(
1
2
)x≤a≤2•2x-(
1
2
)x
在[0,+∞)上恒成立,令t=2x,則h(t)=-4t-
1
t
,p(t)=2t-
1
t
,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求h(t)的最大值和p(t)最小值,利用函數(shù)單調(diào)性的定義,分別判斷出函數(shù)h(t)和p(t)的單調(diào)性,即可求得最值,從容求得a的取值范圍.
(Ⅲ)將函數(shù)g(x)=
1-m•x2
1+m•x2
變形為g(x)=-1+
2
m•x2+1
,對(duì)參數(shù)m進(jìn)行分類(lèi)討論,當(dāng)m>0時(shí),確定函數(shù)g(x)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性可得g(x)的取值范圍,從而確定|g(x)|的范圍,利用有界函數(shù)的定義,轉(zhuǎn)化為|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,利用所求得的g(x)的范圍,即可求得T(m)的取值范圍,同理研究當(dāng)m=0和當(dāng)-1<m<0時(shí)的情況,綜上所求范圍,即可求得T(m)的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=1+a•(
1
2
x+(
1
4
x
∴當(dāng)a=1時(shí),f(x)=1+(
1
2
)x+(
1
4
)x
,
∵y=(
1
4
)x
和y=(
1
2
)x
在R上是單調(diào)遞減函數(shù),
∴f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù),
∴f(x)在(-∞,0)上是單調(diào)遞減函數(shù),
∴f(x)>f(0)=3,
∴f(x)在(-∞,0)的值域?yàn)椋?,+∞),
∴|f(x)|>3,
故不存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M成立,
∴函數(shù)f(x)在(-∞,0)上不是有界函數(shù);
(Ⅱ)∵函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),
∴由題意知,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立,
∴-3≤f(x)≤3在[1,+∞)上恒成立,
-4-(
1
4
)x≤a•(
1
2
)x≤2-(
1
4
)x
在[0,+∞)上恒成立,
-4•2x-(
1
2
)x≤a≤2•2x-(
1
2
)x
在[0,+∞)上恒成立,
[-4•2x-(
1
2
)
x
]max≤a≤[2•2x-(
1
2
)
x
]min
,
令t=2x,由x∈[0,+∞),可得t≥1,
h(t)=-4t-
1
t
,p(t)=2t-
1
t
,
下面判斷函數(shù)h(t)和p(t)的單調(diào)性:
設(shè)1≤t1<t2,則t2-t1>0,4t1t2-1>0,t1t2>0,2t1t2+1>0,
h(t1)-h(t2)=
(t2-t1)(4t1t2-1)
t1t2
>0
,
p(t1)-p(t2)=
(t1-t2)(2t1t2+1)
t1t2
<0
,
∴h(t1)>h(t2),p(t1)<p(t2),
∴h(t)在[1,+∞)上遞減,p(t)在[1,+∞)上遞增
∴h(t)在[1,+∞)上的最大值為h(1)=-5,
p(t)在[1,+∞)上的最小值為p(1)=1,
∴-5≤a≤1,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5,1];
(Ⅲ)g(x)=
1-m•x2
1+m•x2
=-1+
2
m•x2+1
,
①當(dāng)m>0時(shí),x∈[0,1],
∵y=m•x2+1在[0,1]上單調(diào)遞增,
∴g(x)在[0,1]上遞減,
∴g(1)≤g(x)≤g(0),即
1-m
1+m
≤g(x)≤1
,
|
1-m
1+m
|<1
,
∴|g(x)|<1,
∵函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),由有界函數(shù)的定義可得,
|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,
∴T(m)≥1;
②當(dāng)m=0時(shí),g(x)=1,|g(x)|=1,
∵函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),由有界函數(shù)的定義可得,
|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,
∴T(m)≥1;
③當(dāng)-1<m<0時(shí),x∈[0,1],
∵y=m•x2+1在[0,1]上單調(diào)遞減,
∴g(x)在[0,1]上遞增,
∴g(0)≤g(x)≤g(1),即1≤g(x)≤
1-m
1+m

|g(x)|<
1-m
1+m
,
∵函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),由有界函數(shù)的定義可得,
|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,
T(m)≥
1-m
1+m

綜合①②③,當(dāng)m≥0時(shí),T(m)的取值范圍是[1,+∞),
當(dāng)-1<m<0時(shí),T(m)的取值范圍是[
1-m
1+m
,+∞)
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題,函數(shù)的最值的應(yīng)用.對(duì)于函數(shù)的恒成立問(wèn)題,一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解.本題選用了參變量分離的方法轉(zhuǎn)化成求最值問(wèn)題.本題涉及了函數(shù)的求最值和值域問(wèn)題,解題中主要運(yùn)用了函數(shù)的單調(diào)性求解最值和值域.對(duì)于本題中的新定義問(wèn)題,要嚴(yán)格按照題中所給定義分析,將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所熟悉的問(wèn)題,本題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題.屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿(mǎn)足對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱(chēng)f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱(chēng)為函數(shù)f(x)的上界,已知函數(shù)f(x)=1+x+ax2
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,判斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),并說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在x∈[1,4]上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿(mǎn)足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱(chēng)f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱(chēng)為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x
; g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

(1)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)已知m>-1,函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范圍.

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對(duì)于定義在D上的函數(shù)f(x),若存在距離為d的兩條直線y=kx+m1和y=kx+m2,使得對(duì)任意x∈D都有kx+m1≤f(x)≤kx+m2恒成立,則稱(chēng)函數(shù)f(x)(x∈D)有一個(gè)寬度為d的通道.給出下列函數(shù):①f(x)=
1
x
,②f(x)=sinx,③f(x)=
x2-1
,其中在區(qū)間[1,+∞)上通道寬度可以為1的函數(shù)有( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如右圖所示,定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿(mǎn)足:對(duì)?x∈D,常數(shù)A,都有f(x)≥A成立,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在D上有下界,其中A稱(chēng)為函數(shù)的下界.(提示:圖中的常數(shù)A可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù)或零)
(1)試判斷函數(shù)f(x)=x3+
48
x
在(0,+∞)上是否有下界?并說(shuō)明理由;
(2)已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為S(t)=at-2
t+1
,要使在t∈[0,+∞)上的每一時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度是以A=
1
2
為下界的函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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