Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax2+6x-1．當(dāng)x=2時，函數(shù)f（x）取得極值．
（I）求實數(shù)a的值；
（II）若1≤x≤3時，方程f（x）+m=0有兩個根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）因為f（x）在x=3是取極值，則求出f′（x）得到f′（3）=0解出求出a即可．
（II）由（Ⅰ）得f（x），若關(guān)于x的方程f（x）+m=0在[1，3]上恰有兩個不同的實數(shù)根，即函數(shù)f（x）的圖象與直線y=-m有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)即求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最值，結(jié)合圖象可得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I）由f(x)=

1

3

x3+ax2+6x-1，
則 f'（x）=x²+2ax+6
因在x=2時，f（x）取到極值
所以f'（2）=0⇒4+4a+6=0
解得，a=-

5

2

（II）由（I）得f(x)=

1

3

x3-

5

2

x2+6x-1
且1≤x≤3
則f'（x）=x²-5x+6=（x-2）（x-3）
由f'（x）=0，解得x=2或x=3；
f'（x）＞0，解得x＞3或x＜2；
f'（x）＜0，解得2＜x＜3
∴f（x）的遞增區(qū)間為：（-∞，2）和（3，+∞）；
f（x）遞減區(qū)間為：（2，3）
又f(1)=

17

6

，f(2)=

11

3

，f(3)=

7

2

要f（x）+m=0有兩個根，
則f（x）=-m有兩解，分別畫出函數(shù)y=f（x）與y=-m的圖象，如圖所示．
由圖知，實數(shù)m的取值范圍：-

11

3

≤m＜-

7

2

．

點評：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性等問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．