Question

1．如圖，△ABC為等邊三角形，EA⊥平面ABC，EA∥DC，EA=2DC，F(xiàn)為EB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面AEB．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，GC，由三角形中位線定理可得FG∥AE，$FG=\frac{1}{2}AE$，結(jié)合已知DC∥AE，$DC=\frac{1}{2}AE$，可得四邊形DCGF為平行四邊形，得到FD∥GC，由線面平行的判定可得FD∥平面ABC；
（2）由線面垂直的性質(zhì)可得EA⊥面ABC，得到EA⊥GC，再由△ABC為等邊三角形，得CG⊥AB，結(jié)合線面垂直的判定可得CG⊥平面EAB，再由面面垂直的判定可得面BDE⊥面EAB．

解答 （1）證明：取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，GC，
∵在△EAB中，F(xiàn)G∥AE，$FG=\frac{1}{2}AE$，
∵DC∥AE，$DC=\frac{1}{2}AE$，∴DC∥FG，F(xiàn)G=DC，
∴四邊形DCGF為平行四邊形，則FD∥GC，
又∵FD?平面ABC，GC?平面ABC，∴FD∥平面ABC；
（2）證明：∵EA⊥面ABC，CG?平面ABC，∴EA⊥GC，
∵△ABC為等邊三角形，∴CG⊥AB，
又EA∩AB=A，∴CG⊥平面EAB，
∵CG∥FD，∴FD⊥面EAB，
又∵FD?面BDE，∴面BDE⊥面EAB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定，考查了面面垂直的判定，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．