例2:(1)設不等式2(log
1
2
x
2+9log
1
2
x
+9≤0時,求f(x)=log2(
x
2
)•(log2
x
8
)
的最大值和最小值.
(2)設f(x)=|lgx|,a、b是滿足f(a)=f(b)=2f(
a+b
2
)
的實數(shù),其中0<a<b
①求證:a<1<b;②求證:2<4b-b2<3.
分析:(1)、由不等式2(log
1
2
x
2+9log
1
2
x
+9≤0,可知-3≤log
1
2
x≤-
3
2
,從而導出
3
2
log2x≤3
.再由f(x)=log2(
x
2
)•(log2
x
8
)
=(log2x-1)•(log2x-3)=(log2x)2-4log2x+3=(log2x-2)2-1可以導出f(x)最大值和最小值.
(2):①由f(x)=|lgx|,f(a)=f(b)可知|lga|=|lgb|.再由0<a<b,y=lgx是增函數(shù),可知-lga=lgb,由此可證a<1<b.
②由f(a)=f(b)=2f(
a+b
2
)
可知
1
a
=b=
(a+b)2
4
,由此可證2<4b-b2<3.
解答:解:(1)、∵不等式2(log
1
2
x
2+9log
1
2
x
+9≤0,∴-3≤log
1
2
x≤-
3
2
,∴2
2
≤ x≤8
.∴
3
2
log2x≤3

f(x)=log2(
x
2
)•(log2
x
8
)
=(log2x-1)•(log2x-3)=(log2x)2-4log2x+3=(log2x-2)2-1.
故當log2x=2時,f(x)=log2(
x
2
)•(log2
x
8
)
的最小值是-1;當log2x=0時,f(x)=log2(
x
2
)•(log2
x
8
)
的最大值是3.
(2)、①證明:∵f(x)=|lgx|,f(a)=f(b),∴|lga|=|lgb|.
∵0<a<b,y=lgx是增函數(shù),∴-lga=lgb,故a<1<b.
②證明:∵-lga=lgb,∴lg
1
a
=lgb
,∴ab=1,
∵0<a<b,∴
a+b
2
ab
=1

f(a)=f(b)=2f(
a+b
2
)
,∴lg
1
a
=lgb=lg(
a+b
2
)
2
,∴
1
a
=b=
(a+b)2
4

4b=(
1
b
+b)
2
=
1
b2
+b
2
+2
,∴4b-b2
1
b2
+2
,∵b>1,∴2<4b-b2<3.
點評:注意對數(shù)的性質運用及對數(shù)方程的解法.
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