Question

如圖，ABCD-A′B′C′D′是棱長為2的正方體，E是棱AD的中點．
（1）求證：異面直線D′E⊥CD；
（2）求異面直線AC，BC′所成的角的大小；
（3）求三棱錐B′-A′BC′的表面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）ABCD-A′B′C′D′是棱長為2的正方體，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知D′E⊥CD；
（2）將BC′平移到至AD'，連接CD'，則∠D′AC為異面直線AC，BC′所成的角，而三角形AD′C為等邊三角形，從而求出所求；
（3）三棱錐B′-A′BC′的表面是由三個直角三角形和一個等邊三角形組成，然后求所各個面的面積
解答：解：（1）ABCD-A′B′C′D′是棱長為2的正方體
∴CD⊥面A'D'DA
而D'E?面A'D'DA
∴異面直線D′E⊥CD
（2）將BC′平移到至AD'，連接CD'
∴∠D′AC為異面直線AC，BC′所成的角，
而AD′=D′C=AC
∴∠D′AC=60°
（3）三棱錐B′-A′BC′的表面是由三個直角三角形和一個等邊三角形組成
∴三棱錐B′-A′BC′的表面積為3××2×2+=6+2
點評：本題主要考查了異面直線所成角和三棱錐表面積的度量，同時考查了空間想象能力，屬于中檔題．