設(shè)函數(shù)f(x)=log2(
1+x
1-ax
)
(a∈R),若f(-
1
3
)=-1

(1)求f(x)解析式并判斷其奇偶性;
(2)當x∈[-1,0)時,求f(3x)的值域;
(3)g(x)=log
2
1+x
k
,若x∈[
1
2
,
2
3
]
時,f(x)≤g(x)有解,求實數(shù)k取值集合.
分析:(1)由f(-
1
3
)=-1
求得a的值,可得f(x)的解析式,求得它的定義域關(guān)于原點對稱,且滿足f(-x)=-f(x),可得f(x)為奇函數(shù).
(2)由f(x)的解析式求得f(3x)的解析式,再利用不等式的性質(zhì)求得它的值域.
(3)由條件可得
1+x
1-x
≤(
1+x
k
)2
,根據(jù)
1
2
≤x≤
2
3
,可得x+1>0.根據(jù) h(x)=1-x2 在[
1
2
3
2
]上是減函數(shù),求得h(x)的最大值,可得k2
3
4
.又由g(x)定義域知k>0,從而求得k的范圍.
解答:解:(1)由于f(-
1
3
)=log2
1-
1
3
1+
a
3
=-1
,∴
2
3
1+
a
3
=
1
2
,即
4
3
=1+
a
3
,解得a=1,
f(x)=log2
1+x
1-x

再由
1+x
1-x
>0,求得-1<x<1
,∴定義域為(-1,1),定義域關(guān)于原點對稱.
再根據(jù)f(-x)=log2
1-x
1+x
=log2(
1+x
1-x
)-1=-log2
1+x
1-x
=-f(x)
∴f(x)為奇函數(shù).-----(3分)
(2)f(x)=log2(-1-
2
x-1
)
,∴f(3x)=log2(-1-
2
3x-1
)

∵-1≤x<0,∴-
2
3
≤3x-1<0,∴
2
3x-1
≤-3,即-
2
3x-1
≥3,
-1-
2
3x-1
≥2
,∴log2(-1-
2
3x-1
)≥log22=1
,
∴值域為[1,+∞).-----(7分)
(3)∵log2
1+x
1-x
≤log
2
1+x
k
=2log2
1+x
k
=log2(
1+x
k
)2
,∴
1+x
1-x
≤(
1+x
k
)2

1
2
≤x≤
2
3
,∴x+1>0.-------(9分)
令 h(x)=1-x2,顯然h(x)在[
1
2
,
3
2
]上是減函數(shù),∴h(x)max=h(
1
2
)
=
3
4
,
∴只需k2
3
4
.又由g(x)定義域知k>0,∴0<k≤
3
2
,即k的范圍為 (0,
3
2
).-----(13分)
點評:本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷,用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,求函數(shù)的值域,屬于中檔題.
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