Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-2
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n，c_n=

1

bnbn+1

，記數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）求出a₁=2，利用當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，判斷新數(shù)列是等比數(shù)列，然后求解數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用b_n=log₂a_n，c_n=

1

bnbn+1

，求出數(shù)列的通項公式，利用裂項法求解數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=2，…（1分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）…（3分）
即：

an

an-1

=2，…（5分）
∴數(shù)列{a_n}為以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ．…（7分）
（Ⅱ）由b_n=log₂a_n得b_n=log₂2ⁿ=n，…（9分）
則c_n=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（11分）
T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的通項公式以及裂項法求解數(shù)列的和，考查計算能力．