Question

已知函數(shù)f(x)=

a

2

x2-4x+lnx有兩個極值點(diǎn)．
（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）若存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[b，b+2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意知，導(dǎo)數(shù)等于0有兩個正根，分a＜0和a＞0兩種情況討論．
（Ⅱ）由題意知，?a∈（0，4），使ax²-4x+1≥0對x∈[b，b+2]恒成立，即 a＞-(

1

x

)2+

4

x

=-(

1

x

-2)2+4 恒成立，由4＞-(

1

x

)2+4•

1

x

=-(

1

x

-2)2+4恒成立，故x≠

1

2

，由b＞0，根據(jù)

1

2

不在區(qū)間[b，b+2]內(nèi)，求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=ax-4+

1

x

=

ax2-4x+1

x

(x＞0)，由題意：a≠0，又
①當(dāng)a＜0時，

1

a

＜0，f'（x）=0兩根異號，不合題意；
②當(dāng)a＞0時，

2

a

＞0可知△=16-4a＞0，即0＜a＜4，
此時由f′（x）=0得，x1=

2- 4-a

a

，x2=

2+ 4-a

a

，（4分）
由下表

故當(dāng)0＜a＜4時，函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)．（6分）
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）可得“?a∈（0，4），使ax²-4x+1≥0對x∈[b，b+2]恒成立”，
即 a＞-(

1

x

)2+

4

x

=-(

1

x

-2)2+4 恒成立，由[b，b+2]?（0，+∞）得b＞0，
又4＞-(

1

x

)2+4•

1

x

=-(

1

x

-2)2+4恒成立，
∴x≠

1

2

，b+2≤

1

2

，或b≥

1

2

，從而b≥

1

2

．（13分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)存在極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，以及函數(shù)的恒成立問題．