Question

如圖所示，某河段的兩岸可視為平行，為了測(cè)量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A、B，觀察對(duì)岸的點(diǎn)C，測(cè)得∠CAB=105°，∠CBA=45°，且AB=100m．
（1）求sin∠CAB的值；
（2）求該河段的寬度．

Answer 1

分析：（1）由題意，利用兩角和的正弦公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值加以計(jì)算即可得sin∠CAB的值；
（2）由題意畫出簡(jiǎn)圖，在三角形中利用正弦定理先求出BC的長(zhǎng)度，然后過點(diǎn)C作CD垂直于對(duì)岸，垂足為D，由題意可得CD的長(zhǎng)就是該河段的寬度，解出△ACB的BC長(zhǎng)后再在△BDC中即可解出BD長(zhǎng)，可得該河段的寬度．．

解答：解：（1）sin∠CAB=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°
=

3

2

×

2

2

+

1

2

×

2

2

=

6 + 2

4

；
（2）∵∠CAB=105°，∠CBA=45°
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=30°，
由正弦定理得

AB

sin∠ACB

=

BC

sin∠CAB

，
得BC=

ABsin105°

sin30°

=50(

6

+

2

)（m），
如圖過點(diǎn)C作CD垂直于對(duì)岸，垂足為D，則CD的長(zhǎng)就是該河段的寬度．
∵在Rt△BDC中，∠BCD=∠CBA=45°，
∴BD=BCsin45°=50（

6

+

2

）•

2

2

=50（

3

+1）（m）．
答：（1）求sin∠CAB的值為

6 + 2

4

；（2）該河段的寬度為50（

3

+1）（m）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際問題，求河岸的寬度，著重考查了學(xué)生對(duì)題意的理解，還考查了正弦定理解三角形，兩角和的正弦公式，查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．