Question

在△ABC中，A+C=2B，且最大角與最小角的對邊長度之比為(

3

+1)：2．求A，B，C的大小．

Answer 1

分析：由題意可得B=60°，A+C=120°，若最大角為A，則最小角為C，由條件并利用正弦定理求得cotC=1，C=45°；若最大角為C，最小角為A，同理可求得A，C的值．

解答：解：因為在△ABC中，A+C=2B，所以180°=A+B+C=3B，于是B=60°．…（2分）
若最大角為A，則最小角為C．…（3分）
因為最大角與最小角的對邊長度之比為(

3

+1)：2，
由正弦定理得

3 +1

2

=

sinA

sinC

=

sin(120°-C)

sinC

=

3 2 cosC+ 1 2 sinC

sinC

=

3

2

cotC+

1

2

，…（10分）
所以cotC=1． …（12分）
因為C為三角形的內(nèi)角，所以C=45°．…（13分）
因而A=75°．…（14分）
若最大角為C，最小角為A，則可得A=45°，從而C=75°．…（15分）
綜上得A=75°，B=60°，C=45°或A=45°，B=60°，C=75°．…（16分）

點評：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，已知三角函數(shù)值求角的大小，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．