Question

6．已知函數(shù)y=sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$．
（1）用“五點(diǎn)法”作出該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖；
（2）求函數(shù)的振幅、周期．
（3）當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)有最值，最值為多少？
（4）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 先由三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式，由五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得振幅，周期，最值及單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）y=sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}-\frac{π}{4}$），
根據(jù)題意列出表格得：

x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
$\frac{x}{2}-\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}-\frac{π}{4}$）	0	$\sqrt{2}$	0	-$\sqrt{2}$	0

該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖如下：

（2）由函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：函數(shù)的振幅為$\sqrt{2}$、周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
（3）由函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當(dāng)x=2k$π+\frac{3π}{2}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)取最大值$\sqrt{2}$，當(dāng)x=2k$π+\frac{7π}{2}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)取最小值-$\sqrt{2}$．
（4）由函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是：[2k$π+\frac{3π}{2}$，2k$π+\frac{7π}{2}$]，k∈Z，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：[2kπ-$\frac{π}{2}$，2k$π+\frac{3π}{2}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．