Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，a₁=1，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若等比數(shù)列{b_n}的各項都是正數(shù)，

Sn

2

=15，

S2n

2

=255，且在前n項和中，最大項為16，令C_n=a_n•b_n，求數(shù)列{C_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得（1+3d）²=（1+d）（1+7d），解得d=1，或d=0（舍），由此求出a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）設{bn}的公比為q，由已知條件得S2n=

b1(1-q2n)

1-q

=510，Sn=

b1(1-qn)

1-q

30，兩式相除，得1+qⁿ=17，由在前n項和中，最大項為16，解得得b₁=q=2，b_n=2ⁿ．c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{C_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，a₁=1，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，
∴（1+3d）²=（1+d）（1+7d），
解得d=1，或d=0（舍），
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）設{bn}的公比為q，
∵

Sn

2

=15，

S2n

2

=255，
∴S2n=

b1(1-q2n)

1-q

=510，Sn=

b1(1-qn)

1-q

30，
兩式相除，得1+qⁿ=17，
∴b_n=b1qn-1=

b1

q

•qn16•

b1

q

，
∵在前n項和中，最大項為16，
∴只有

b1

q

=1時最大，故b₁=q時取得．
將所得結果代入到

Sn

2

=15，求得b₁=q=2，b_n=2ⁿ．
c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，
T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．