Question

已知：雙曲線的頂點坐標(0，1)，(0,-l)，離心率，又拋物線的焦點與雙曲線一個焦點重合．

(1)求拋物線的方程；

(2)已知是軸上的兩點，過做直線與拋物線交于兩點，試證:直線與軸所成的銳角相等．

(3)在(2)的前提下，若直線的斜率為1，問的面積是否有最大值?若有，求出最大值．若沒有，說明理由．

Answer 1

(1) (2)略

解析:

(1)由題意,設雙曲線方程為,則解得  ------2分

所以雙曲線兩焦點為,即故,

∴拋物線的方程為;-----------------5分

(2)設直線AB方程為,代入拋物線的方程為得:

,

設,,則,  -----------------7分

要證直線與軸所成的銳角相等,只證明,

∵=,

所以原命題成立.-------------------9分

(3)由(2)知,k=1時,化為,由得,

點Q到AB的距離為,---------10分

-----------11分

令,則,令得:

,

∴在和(0,上都是增函數(shù),

在是減函數(shù),------------13分

所以無最大值.----------------14分