Question

16．若函數(shù)f（x）=x²+2（a-1）x+2在[-4，4]上是單調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-3或a≥5．

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)的解析式f（x）=x²+2（a-1）x+2，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷出函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-a+1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[-a+1，+∞）上是增函數(shù)，再由函數(shù)在區(qū)間[-4，4]上為單調(diào)函數(shù)，可得區(qū)間在對(duì)稱軸的同一側(cè)，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+2（a-1）x+2的圖象是開(kāi)口方向朝上，
且以x=-a+1為對(duì)稱軸的拋物線，
∴函數(shù)f（x）=x²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，-a+1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[-a+1，+∞）上是增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）=x²+2（a-1）x+2在區(qū)間[-4，4]上是單調(diào)函數(shù)，
∴-a+1≤-4，或-a+1≥4，
解得a≥5或a≤-3．
故答案為：a≤-3或a≥5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，4]上為單調(diào)函數(shù)，判斷出區(qū)間在對(duì)稱軸的同一側(cè)，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a的不等式是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．