Question

直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x²-y²=1的左支交于點A，與右支交于點B．
（Ⅰ）求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓過坐標的點O，求該圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用直線的斜率與雙曲線的漸近線的斜率關系，直接求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由題意可知0A⊥OB，又A，B兩點在直線l上，得到y(tǒng)₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1代入上式有A，B兩點為直線l與雙曲線C的交點，求出圓的半徑，即可求解圓的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由圖觀察知，直線l的斜率應介于雙曲線的兩漸近線的斜率之間，而兩漸近線的斜率為±

3

，所以-

3

＜k＜

3

．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由題意可知0A⊥OB，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1
又A，B兩點在直線l上，所以y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1代入上式有
 （k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0     ①
又∵A，B兩點為直線l與雙曲線C的交點，
 

y=kx+1 3x2-y2=1

∴（3-k²）x²-2kx-2=0  ②
x₁+x₂=

2k

3-k2

，x₁x₂=-

2

3-k2

，
代入①中解得k=±1，即直線l的方程為y=±x+1
∴所求圓的圓心為AB的中點（±

1

2

，

3

2

），
而半徑為r=

(± 1 2 -0)2+( 3 2 -0)2

=

10

2

∴所求圓的方程為(x±

1

2

)2+(y-

3

2

)2=

5

2

點評：本題考查直線與雙曲線的位置關系的應用，圓的標準方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．