Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比q=-

1

2

．
（1）若a₃=

1

4

，求數(shù)列{a_n}的前n項和；
（2）證明，對任意k∈N₊，a_k，a_k+2，a_k+1成等比數(shù)列．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（2）由a₃=

1

4

=a₁q²，以及q=-

1

2

可得 a₁=1，代入等比數(shù)列的前n項和公式，運算求得結(jié)果．
（2）對任意k∈N₊，化簡2a_k+2-（a_k +a_k+1）為 a₁ q^k-1（2q²-q-1），把q=-

1

2

代入可得2a_k+2-（a_k +a_k+1）=0，故 a_k，a_k+2，a_k+1成等差數(shù)列．

解答： （1）解：由a₃=

1

4

=a₁q²，以及q=-

1

2

可得 a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

1×[1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=

2-2•(- 1 2 )n

3

．
（2）證明：對任意k∈N₊，2a_k+2-（a_k +a_k+1）=2a₁ q^k+1-a₁ q^k-1-a₁ q^k=a₁ q^k-1（2q²-q-1）．
把q=-

1

2

代入可得2q²-q-1=0，
故2a_k+2-（a_k +a_k+1）=0，
故 a_k，a_k+2，a_k+1成等差數(shù)列．

點評：本題主要考查等差關(guān)系的確定，等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．