Question

【題目】下列命題中，真命題的個數為①對任意的a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要條件；②在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB；③非零向量 ，若 ，則向量 與向量 的夾角為銳角；④ ．（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：對于①，若a＞b≥0，則a|a|＞b|b|顯然成立；

若a≥0＞b，a|a|＞b|b|a2＞﹣b2a2+b2＞0，成立；

若0＞a＞b，a|a|＞b|b||﹣a2＞﹣b2a2＜b2，成立；

故對任意的a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要條件，故①正確；

對于②，在△ABC中，若A＞B，則a＞b，又由正弦定理知，a＞b2RsinA＞2RsinBsinA＞sinB，故②正確；

對于③，非零向量 ，若 ，則向量 與向量 的夾角為銳角或0，故③錯誤；

對于④，∵ ﹣ = = ＞0，

∴ ＞ ；

同理可得， ；

∴ ，故④正確．

綜上所述，真命題的個數為3個，

故選：C．

對于①，分a＞b≥0、a≥0＞b、0＞a＞b三類討論，可判斷①正確；

對于②，在△ABC中，利用正弦定理可判斷②正確；對于③，非零向量 ，若 向量 與向量 的夾角為銳角或0，可判斷③錯誤；對于④，利用作差法可判斷 ﹣ = ＞0，即 ＞ ；同理可得， ，可判斷④正確．