3．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點
（1）求證：EF∥平面BCD
（2）若AB=AD，BC=CD，求證：AC⊥BD．

分析 （1）利用三角形的中位線的性質可得EF∥BD，利用線面平行的判定定理，即可得出結論．
（2）取BD的中點G，連接AG，CG，可得BD⊥AG，BD⊥CG，從而可證BD⊥平面AGC，即可證明BD⊥AC．

解答 證明：（1）∵空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點．
∴EF∥BD，
∵EF?平面BCD，BD?平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
（2）如圖，取BD的中點G，連接AG，CG，
∵AB=AD，BC=CD，
∴BD⊥AG，BD⊥CG，
∵AG∩CG=G，
∴BD⊥平面AGC，又AC?平面AGC，
∴BD⊥AC．

點評 本題考查線面平行的判定定理，直線與平面垂直的性質，考查學生空間想象能力，推理論證能力，分析解決問題的能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．如圖，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A，B兩點，|AF|的最大值為M，|BF|的最小值為m，滿足$M•m=\frac{3}{4}{a^2}$．
（Ⅰ）若線段AB垂直于x軸時，|AB|=$\frac{3}{2}$，求橢圓的方程；
（Ⅱ） 設線段AB的中點為G，AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D，E兩點，O是坐標原點，記△GFD的面積為S1，△OED的面積為S2，求$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{{{S_1}^2+{S_2}^2}}$的取值范圍．

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14．不等式|x-5|+|x+1|＜8的解集為（　�。�
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11．不等式$\frac{4}{x-2}＞x-2$的解集是（　�。�
A．（-∞，0）∪（2，4）B．[0，2）∪[4，+∞）C．[2，4）D．（-∞，-2]∪（4，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

18．已知定義在R上的函數(shù)f（x），g（x）滿足$\frac{f（x）}{g（x）}={a^x}$，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，若有窮數(shù)列$\left\{{\frac{f（n）}{g（n）}}\right\}，n∈{N^*}$的前n項和為$\frac{255}{256}$，則n=8．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

8．已知函數(shù)$f（x）={log_2}（x+\sqrt{{x^2}+1}）+\frac{{5{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}$，x∈[-k，k]（k＞0）的最大值和最小值分別為M和m，則M+m=8．

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15．（Ⅰ）設函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{2}}}x}&{x＞0}\\{x+6}&{x≤0}\end{array}}$，計算f（f（-4））的值；
（Ⅱ）計算：log525+lg$\frac{1}{100}+ln\sqrt{e}+{2^{{{log}_2}1}}$；
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

12．“x=1”是“x2-1=0”的（　�。l件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．計算：
（1）${（2\frac{3}{5}）^0}+{2^{-4}}×{（2\frac{1}{4}）^{-\frac{3}{2}}}-{0.01^{0.5}}$；
（2）（lg2）2+lg2•lg50+lg25．

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