已知實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x1,x2
(1)若上述方程的一個(gè)根x1=4-i(i為虛數(shù)單位),求實(shí)數(shù)p,q的值;
(2)若方程的兩根滿足|x1|+|x2|=2,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.
分析:(1)由題意可得,另一個(gè)根為4+i,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出p和q 的值.
(2)對(duì)根的判別式分情況討論:①當(dāng)△=p2-4q<0時(shí),方程的兩根為虛數(shù),②當(dāng)△=p2-4q≥0時(shí),方程的兩根為實(shí)數(shù),再利用結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系及根的分布求解即可.
解答:解:(1)根據(jù)“實(shí)系數(shù)方程虛根共軛成對(duì)出現(xiàn)”,知x2=4+i,…2分
根據(jù)韋達(dá)定理,知p=-(x1+x2)=-8;q=x1•x2=17.…2分
(2)①當(dāng)△=p2-4q<0時(shí),方程的兩根為虛數(shù),且x1=
.
x2

∴|x1|=|x2|=1,∴q=1.∴p=-(x1+x2)=-2Re(x1)∈[-2,2],
又根據(jù)△=p2-4q<0,∴p∈(-2,2).…3分
②(法一)當(dāng)△=p2-4q≥0時(shí),方程的兩根為實(shí)數(shù),
(2-1)當(dāng)q>0時(shí),方程的兩根同號(hào),
∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=|p|=2,∴p=±2;
(2-2)當(dāng)q=0時(shí),方程的一根為0,
∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=|p|=2,∴p=±2;
(2-2)當(dāng)q<0時(shí),方程的兩根異號(hào),
∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=2,
∴4=(x1+x22-4x1x2=p2-4q,
∴p2=4+4q∈[0,4),∴p∈(-2,2).
∴當(dāng)△≥0時(shí),p∈[-2,2].…3分
綜上,p的取值范圍是[-2,2].
(法二)當(dāng)△=p2-4q≥0時(shí),方程的兩根為實(shí)數(shù),
∴|p|=|x1+x2|≤|x1|+|x2|=2,當(dāng)x1與x2同號(hào)或有一個(gè)為0時(shí)等號(hào)取到.
特別的,取x1=2,x2=0時(shí)p=-2;取x1=-2,x2=0時(shí)p=2.
∴p∈[-2,2].…3分
綜上,p的取值范圍是[-2,2].
點(diǎn)評(píng):本題考查實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,復(fù)數(shù)求模,判斷另一個(gè)根為4+i,是解題的關(guān)鍵.
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已知實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的兩個(gè)實(shí)根為x1,x2,且 0<x1<1,x2>1,則
b
a
的取值范圍是( 。
A、(-1,-
1
2
]
B、(-1,-
1
2
)
C、(-2,-
1
2
]
D、(-2,-
1
2
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的兩個(gè)實(shí)根為x1、x2,并且0<x1<2,x2>2,則
b
a-1
的取值范圍是( 。

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已知實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的兩個(gè)實(shí)根為x1,x2,且 0<x1<1,x2>1,則的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.

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已知實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的兩個(gè)實(shí)根為x1、x2,并且0<x1<2,x2>2,則的取值范圍是( )
A.(-1,-
B.(-3,-1)
C.(-3,-
D.(-3,

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A.
B.
C.
D.

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