精英家教網如圖,拋物線C1:x2=2py(p>0)的焦點為F,橢圓C2
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率e=
3
2
,C1與C2在第一象限的交點為P(
3
1
2

(1)求拋物線C1及橢圓C2的方程;
(2)已知直線l:y=kx+t(k≠0,t>0)與橢圓C2交于不同兩點A、B,點M滿足
AM
+
BM
=
0
,直線FM的斜率為k1,試證明k•k1
-1
4
分析:(1)借助于拋物線過點P,先求拋物線方程,再利用離心率e=
3
2
,求橢圓方程;
(2)點M滿足
AM
+
BM
=
0
,等價于點M為線段AB的中點,從而表達出斜率,再進行證明.
解答:解:(1)將P(
3
1
2
)代入x2=2py得p=3,∴拋物線C1的方程為x2=6y,焦點F(0,
3
2

把P(
3
,
1
2
)代入
x2
a2
+
y2
b2
=1
3
a2
+
1
4b2
=1
,又e=
3
2
,∴a=2,b=1故橢圓C2的方程為
x2
4
+
y2
1
=1

(2)由直線l:y=kx+t與
x2
4
+
y2
1
=1
聯(lián)立得(1+4k2)x2+8ktx+4(t2-1)=0,△>0得1+4k2>t2
設A(x1,y1),B(x2,y2)則x1+x2=
-8kt
1+4k2

由題意點M為線段AB的中點,設M(xM,yM),
xM=
-4kt
1+4k2
,yM=
t
1+4k2
,
k1=
2t-3(1+4k2)
-8kt
kk1
3t2-2t
8t
=
3t -2
8
>-
1
4
點評:本題主要考查圓錐曲線相交,求圓錐曲線問題,利用了待定系數(shù)法,同時考查了直線與曲線相交問題,利用設而不求法進行證明.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網如圖,拋物線C1:y2=8x與雙曲線C2
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
有公共焦點F2,點A是曲線C1,C2在第一象限的交點,且|AF2|=5.
(Ⅰ)求雙曲線C2的方程;
(Ⅱ)以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切,圓N:(x-2)2+y2=1.平面上有點P滿足:存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1,l2,它們分別與圓M,N相交,且直線l1被圓M截得的弦長與直線l2被圓N截得的弦長的比為
3
:1
,試求所有滿足條件的點P的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,拋物線C1:y2=8x與雙曲線C2
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)有公共焦點F2,點A是曲線C1,C2在第一象限的交點,且|AF2|=5.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切,圓N:(x-2)2+y2=1,已知點P(1,
3
),過點P作互相垂直且分別與圓M圓N相交的直線l1,l2,設l1被圓M截得的弦長為s,l2被圓N截得的弦長為t,
s
t
是否為定值?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖過拋物線C1x2=4y的對稱軸上一點P(0,m)(m>0)作直線l與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,點Q是P關于原點的對稱點,以P,Q為焦點的橢圓為C2
(1)求證:x1x2為定值;
(2)若l的方程為x-2y+4=0,且C1,C2以及直線l有公共點,求C2的方程;
(3)設
AP
PB
,若
QP
⊥(
QA
QB
)
,求證:λ=μ

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科目:高中數(shù)學 來源:2013年遼寧省高考數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0),點M(x,y)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O),當x=1-時,切線MA的斜率為-
(I)求P的值;
(II)當M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點為O).

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科目:高中數(shù)學 來源:2011年廣東省廣州市高考數(shù)學查漏補缺試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,拋物線C1:y2=8x與雙曲線有公共焦點F2,點A是曲線C1,C2在第一象限的交點,且|AF2|=5.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切,圓N:(x-2)2+y2=1.已知點,過點P作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l1和l2,設l1被圓M截得的弦長為s,l2被圓N截得的弦長為t.是否為定值?請說明理由.

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