Question

已知函數(shù)f（x）=

1

(x+1)ln(x+1)

．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，使不等式

1

x+1

ln2＞mln（x+1）在-1＜x＜0時恒成立？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）已知正整數(shù)列{cn}中，(Cn)(n+1)2=e

1

f(n)

(n∈N*)，求數(shù)列{cn}中的最大項．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）恒成立的問題，分離參數(shù)，只需m＞

ln2

(x+1)ln(x+1)

在-1＜x＜0時恒成立．求出

ln2

(x+1)ln(x+1)

最大值即可．
（Ⅲ）先化簡得到(Cn)n+1=n+1，然后構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)在[2，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而可知{c_n}的單調(diào)性，即可判斷．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)解析式得，

x+1＞0 x+1≠0

解得x＞-1且x≠0．
∴函數(shù)f（x）的定義域是{x|x∈R，x＞-1且x≠0}．
∵f（x）=

1

(x+1)ln(x+1)

．
∴f′（x）=-

ln(x+1)+1

(x+1)2ln2(x+1)

，
由f'（x）＞0得ln（x+1）+1＜0．∴-1＜x＜e^-1-1．
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，e^-1-1）．
由f'（x）＜0得ln（x+1）+1＞0．∴x＞e^-1-1．
∴函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（e^-1-1，+∞）．
（Ⅱ）∵e^-1-1＜x＜0，∴e^-1＜x+1＜1．
∴-1＜ln（x+1）＜0．∴l(xiāng)n（x+1）+1＞0
當(dāng)e^-1-1＜x＜0時，f′（x）=-

ln(x+1)+1

(x+1)2ln2(x+1)

＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（e^-1-1，0）上為減函數(shù)，
由（1）可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，e^-1-1）上為增函數(shù)．
當(dāng)x=e^-1-1時，f（x）取得最大值．∴[f（x）]_最大=f（e^-1-1）=-e．
∵

1

x+1

ln2＞mln（x+1）在-1＜x＜0時恒成立．
∴m＞

ln2

(x+1)ln(x+1)

在-1＜x＜0時恒成立．
∵

ln2

(x+1)ln(x+1)

在-1＜x＜0時的最大值等于-eln2．
∴m＞-eln2．
∴當(dāng)m＞-eln2時，不等式

1

x+1

ln2＞mln（x+1）在-1＜x＜0時恒成立．
（Ⅲ）由已知(Cn)(n+1)2=e

1

f(n)

=e^{（n+1）ln（n+1）}=（e^ln（n+1））ⁿ⁺¹=（n+1）ⁿ⁺¹，
∴(Cn)n+1=n+1，
即lnC_n=

ln(n+1)

n+1

，
令g（x）=

ln(x+1)

x+1

，
∴g′（x）=

1-ln(x+1)

(x+1)2

，
當(dāng)x≥2時，ln（x+1）＞1，即f′（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在[2，+∞）為單調(diào)減函數(shù)，
由lnC_n=

ln(n+1)

n+1

，
∴n≥2 時，{lnc_n}是遞減數(shù)列．即{c_n}是遞減數(shù)列．
又c₁²=2，∴c₁=

2

，
c₂³=3，∴c₂=

3	3

，
∵c₁＜c₂，
∴數(shù)列{c_n}中的最大項為c₂=

3	3

，

點評：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷相應(yīng)數(shù)列的單調(diào)性及利用單調(diào)性判斷數(shù)列取得的最大項．考查分類討論，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力．屬于難題