Question

（2013•荊門模擬）在五棱錐P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=2

2

a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°
（1）求證：PA⊥平面ABCDE；
（2）求二面角A-PD-E的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理的逆定理和線面垂直的判定定理即可證明；
（2）過E作EH⊥AD于H，EF⊥PD于F，連接FH，利用線面垂直的判定定理可得EH⊥平面PAD，F(xiàn)H⊥PD．于是∠EFH為二面角A-PD-E的平面角．又在Rt△AED和Rt△POE中，利用等積變形和邊角關系即可得出．

解答：（1）證明：在△PAB中，PA=2a，PB=2

2

a，AB=2a
∴PB²=PA²+AB²，∴PA⊥AB，
同理可證：PA⊥AE．
又AB∩AE=A，AB?平面ABCDE，AE?平面ABCDE
∴PA⊥平面ABCDE．
（2）過E作EH⊥AD于H，EF⊥PD于F，連接FH，
則EH⊥平面PAD，F(xiàn)H⊥PD．
∴∠EFH為二面角A-PD-E的平面角．
又在Rt△AED和Rt△POE中，EH•AD=AE•DE，EF•PD=DE•PE．
∴EH=

2

5

a，EF=

2

3

2

a．
∴sin∠EFH=

EH

EF

=

3

10

10

．
故二面角A-PD-E的正弦值為

3

10

10

．

點評：本題考查了勾股定理的逆定理和線面垂直的判定定理、二面角的平面角、三垂線定理及其逆定理、等積變形和邊角關系等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．