Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2）
（1）求證：{

an

2n

}為等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得

an

2n

=

2an-1

2n

+1，

a1

2

=1，由此能證明{

an

2n

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由

an

2n

=1+（n-1）×1=n，得an=n•2n．由此利用錯(cuò)位相減法能{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）證明：∵a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），
∴

an

2n

=

2an-1

2n

+1，∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
∵

a1

2

=1，
∴{

an

2n

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）得

an

2n

=1+（n-1）×1=n，
∴an=n•2n．
∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．