Question

10．△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$＜0是直線ax+by+c=0與圓x²+y²=1相交的（　　）條件．

• A． 充要
• B． 充分不必要
• C． 必要不充分
• D． 既不充分也不必要

Answer 1

分析 根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合向量的運(yùn)算性質(zhì)以及直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．

解答 解：△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$＜0，
則cosC＞0，故∠C是銳角，
∴c²＜a²+b²，即c＜$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|c|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$＜1，
直線ax+by+c=0與圓x²+y²=1相交，
是充分條件，
若直線ax+by+c=0與圓x²+y²=1相交，
則圓心到直線的距離d=$\frac{|c|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$＜1，
∴c＜$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，即c²＜a²+b²，
故∠C是銳角，cosC＞0，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$＜0，是必要條件，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了充分必要條件，考查向量的運(yùn)算性質(zhì)，三角形的邊角關(guān)系，直線和圓的位置關(guān)系，是一道中檔題．