Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{-x}（x≤0）}\\{\sqrt{x}（x＞0）}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-b有且僅有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是0＜b＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{-x}，x≤0}\\{\sqrt{x}，x＞0}\end{array}\right.$與函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+b的圖象有且僅有兩個交點，從而作圖求解即可．

解答 解：∵函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-b有且僅有兩個零點，
∴函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{-x}，x≤0}\\{\sqrt{x}，x＞0}\end{array}\right.$與函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+b的圖象有且僅有兩個交點，
作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{-x}，x≤0}\\{\sqrt{x}，x＞0}\end{array}\right.$與函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+b的圖象如下，

當(dāng)b=0時，有一個交點，是一個臨界值，
當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}$x+b與f（x）=$\sqrt{x}$相切時，
f′（x）=$\frac{1}{2}$$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{1}{2}$；
故切點為（1，1）；
故b=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
結(jié)合圖象可得，
0＜b$＜\frac{1}{2}$；
故答案為：0＜b$＜\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)圖象的作法及函數(shù)的零點與函數(shù)的圖象的交點的關(guān)系應(yīng)用等，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．